4 - Table de la loi normale et utilisation

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Propriétés de la loi normale

La loi normale qui rend compte de beaucoup de phénomènes aléatoires est largement utilisée par l’intermédiaire, notamment, de la fonction de répartition associée.

Le tableau suivant donne les valeurs de cette fonction pour les valeurs supérieures à 0 donc au delà de la valeur moyenne :

La loi normale posséde plusieurs propriétés utilisables lors de son exploitation et qui sont illustrées par la figure suivante :

• Propriété 1 : La loi normale est symétrique : il y a autant de valeur inférieure que supérieure à la moyenne,
• Propriété 2 : La probabilité globale étant de 1, la probabilité qu’une valeur soit supérieure à une valeur donnée (T₀) est égale au complément à 1 de la probabilité que cette valeur soit inférieure à cette valeur,
• Propriété 3 : Considérant deux valeurs symétriques par rapport à la moyenne, les probabilités que la valeur soit inférieure à la valeur négative (- T₀) est égale à la probabilité que la valeur soit supérieure à la valeur positive (+ T₀).

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Caractéristiques de dispersion de la loi normale 

Il est intéressant de caractériser la dispersion de la loi normale en évaluant quelle est la proportion de valeurs comprises dans une plage centrée sur la moyenne et dont la taille est exprimée en écart-type.

La figure ci-dessous illustre cette dispersion :

Ainsi il peut être intéressant de garder en tête les chiffres suivants :

• 68 % des valeurs sont comprises dans la plage ±1 écart-type
• 95 % des valeurs sont comprises dans la plage ±2 écart-types
• 99 % des valeurs sont comprises dans la plage ±3 écart-types

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Exemples d’utilisation de la loi normale

Cela pourra servir à sélectionner, après un sondage, une plage de valeurs pour un contact, un mailing ou autre en se donnant une probabilité donnée (68, 95 ou 99 %) de couvrir cette population.

• Exemple 1 : Quelle est la probabilité qu’une valeur soit supérieur à 2,57 ?

La table de la fonction de répartition nous donne les probabilités inférieures à une certaine valeur. On y lit que pour la valeur 2,57, cette probabilité vaut 0,9949. La propriété 2 nous permet de dire que la probabilité qu’une valeur soit supérieure à 2,57 est : 1 – 0,9949 = 0,0051 soit 0,51 %.

On peut généraliser avec la formule :

p(T>+T₀) = 1 – p(T<+T₀)

• Exemple 2 : Quelle est la probabilité qu’une valeur soit supérieure à la valeur négative – 0,69 ?

La propriété 3 (symétrie de la loi normale) nous permet d’écrire que la probabilité des valeurs supérieures à – 0,69 est égale à la probabilité des valeurs inférieures à + 0,69. Nous lisons dans la table, la probabilité correspondante de 0,7549.

Soit en généralisant :

p(T>-T₀) = p(T<+T₀)

• Exemple 3 : Quelle est la probabilité qu’une valeur soit inférieure à la valeur négative -0,69 ?

La table précédente ne nous donne que les probabilités associées aux valeurs positives. On utilisera la symétrie de la loi normale (propriété 3) en écrivant que la probabilité qu’une valeur soit inférieure à – 0,69 est égale à la probabilité qu’une valeur soit supérieure à + 0,69.

Pour 0,69, la table nous donne une probabilité de 0,7549. La probabilité recherchée est donc égale à 1 – 0,7549 = 0,2451 soit 24,51 %.

Soit en généralisant :

p(T<-T₀) = p(T>+T₀) = 1 – p(T<+T₀)

• Exemple 4 : Quelle est la probabilité qu’une valeur soit comprise entre les valeurs -0,69 et + 2,57 ?

cette probabilité se calcule en retranchant de la probabilité que la valeur soit inférieure à 2,57, la probabilité que cette valeur soit inférieure à – 0,69.

Les exemples 1 et 3 ont déjà permis de calculer ces 2 probabilités soit :

P = 0,9949 – 0,2451 = 0,7498

Soit en généralisant :

P (T₀ à T₁) = P(T < T₁) – P(T < T₀)

• Exemple 5 : Quelle est la plage de valeurs que l’on doit retenir pour être sûr qu’une proportion donnée des valeurs y soit contenue ?

C’est la problématique inverse des exemples précédents. Par exemple, si un fabricant de prêt-à-porter veut vendre ses produits à 30 % de la population quelle plage de tailles doit-il couvrir ?

Il suffit de rechercher dans la table de la fonction de répartition, la probabilité correspondante. Néanmoins, comme la table ne donne que les valeurs au-delà de 50 %, il convient d’effectuer un petit raisonnement : Nous souhaitons couvrir 30 % de la population centrée autour de la moyenne, c’est à dire 15 % en deçà et 15 % au-delà de cette moyenne. Cette plage couvre donc des probabilités de 35 à 65 %.
La table nous donne pour 65 % la valeur de la variable comprise entre 0,38 et 0,39.
On prendra la valeur intermédiaire de 0,385 et la plage à sélectionner ira de – 0,385 à + 0,385 autour de la moyenne.