1 - Définitions et théorèmes
Définition de l’indice
On appelle indice un valeur qui mesure l’évolution d’une grandeur dans le temps. Pout caractériser l’évolution d’une grandeur P qui avait la valeut P0 au temps t0 et qui a la valeur P1 au temps t1, on calcule le rapport entre P1 et P0 selon la formule :
Indice t1/t0 = (P1 / P0) x 100
La multiplication par 100 permet de fixer une base de 100 à la valeur initiale P0.
On peut considérer l’exemple de l’indice des prix à la consommation dont les variations en 2001, 2002 et 2003 font l’objet du tableau suivant :
Nota : La base 100 avait été fixée à 100 en février 1999.
On peut tracer l’évolution de cet indice pendant 3 ans :
Taux de variation
On peut raisonner également en taux de variation relative (augmentation ou dimunution) exprimé en % grâce à la formule suivante :
Taux de variation (t1/t0) = (Valeur à t1 – Valeur à t0) / Valeur à t0 x 100
On passe de l’indice au taux de variation ainsi :
Taux = indice – 100
Considérons dans le tableau précédent les valeurs P1 et P2 des indices respectivement en janvier 2002 (t1) et janvier 2003 (t2) :
- Janvier 2002 104,8
- Janvier 2003 106,9
Le taux de variation atteint en janvier 2002 est égal à :
[(104,8 – 100) / 100 ] x 100 = 4,8 %
De la même façon en janvier 2003 on atteint un taux de variation de 6,9 %
Changement de base
Si P0 est l’indice de base (100) en février 1999 (t0), on peut écrire :
Indice (t1/t0) = (P1 x 100)/P0 (1)
Indice (t2/t0) = (P2 x 100)/P0 (2)
Si l’on veut prendre comme nouvelle base janvier 2002, on évalue l’indice de P2 ainsi :
Indice (t2/t1) = (P2 x 100)/P1 (3)
Grâce à (1)et (2) on peut déduire que :
P2 = Indice (t2/t0) x P0 /100
P1 = Indice (t1/t0) x P0 /100
Soit, en remplaçant P1 et P2 dans (3) :
Indice (t2/t1) = (Indice (t2/t0) x P0 /100) x 100) / Indice (t1/t0) x P0 /100
Soit en simplifiant :
Indice (t2/t1) = (Indice (t2/t0)) / Indice (t1/t0) x 100)
Application numérique :
Indice (2003 / 2002) = 106,9 / 104,8 x 100 = 102
On remarque que les taux de variation ne s’additionne pas comme le montre le schéma ci-dessous :
Attention : les taux de variation ne s’additionne pas. Deux augmentation successives de 20 % ne donne pas au final une augmentation de 40 % mais de 44 % !